Тема
Доверительные интервалы
Предмет
Математическая Статистика

Теория

Введение

Доверительные интервалы позволяют оценить вероятность, с которой истинные значения параметров попадают в определенный интервал. 

Рассмотрим оценку $\hat{\theta}$ неизвестного параметра $\theta$ из выборки $X=(X_{1},...,X_{n})$. Обозначим через $T_{1}(X)$ и $T_{2}(X)$ некоторые функции от выборки. Тогда случайный интервал $(T_{1}(X),T_{2}(X))$ будет $(100*(1-\gamma))$%-доверительным интервалом для параметра $\theta$, если:

$$P(T_{1}(X)\leq\theta\leq T_{2}(X))=1-\gamma$$

Где $\gamma$ именуется уровнем значимости.

Рассмотрим простой пример:

Пусть $X=(X_{1},X_{2},X_{3})$ - выборка из равномерного распределения $\xi\sim U(0,1)$. Рассмотрим параметр $\theta=E(\xi)$. Зададим $T_{1}(X)=X_{1}$ и $T_{2}(X)=2X_{1}$. Откуда получаем:

$$P(T_{1}(X)\leq E(\xi)\leq T_{2}(X))=P(X_{1}\leq \frac{1}{2}\leq2X_{1})=P(0.25\leq X_{1}\leq0.5)=0.25$$

Таким образом был построен 25% -доверительный интервал для параметра $\theta$.

Задача Сложность
Ютуб и Василий 1
Простые задачи на доверительные интервалы 2
Вор должен сидеть в тюрьме 3
Доверительный интервал для фирмы 2 3