Опубликовал
sobodv
Автор или источник
sobopedia
Предмет
Математическая Статистика
Тема
Доверительные интервалы
Раздел
Введение в доверительные интервалы
Дата публикации
4/18/2020
Дата последней правки
4/20/2020
Последний вносивший правки
sobodv
Рейтинг

 

Условие

Кот Василий научился пользоваться ютубом и использует его для просмотра образовательных видео. Число просмотренных им за день роликов является случайной величиной, имеющей распределение Пуассона с параметром $\lambda$ и никак не зависит от числа ранее просмотренных видео.

За последние $100$ дней Василий посмотрел $1000$ видеов.

1. При помощи метода максимального правдоподобия найдите оценку математическое ожидания просматриваемых за день Василием видео и информацию Фишера.

2. Используя найденную в предыдущем пункте оценку постройте $80\%$ доверительный интервал для математического ожидания числа просматриваемых за день котом Василием видео.

3. Постройте $80\%$ доверительный интервал для вероятности того, что Василий посмотрит за день ровно одно видео.

4. Постройте $80\%$ асимптотический доверительный интервал для информации Фишера для одного наблюдения.

 

Видео с разбором задачи может быть найдено по ссылке.

1. Через $X=\left(X_{1},\cdots,X_{n}\right)$ обозначим выборку из числа просмотренных Василием видео, а через $x=\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)$ - её реализацию.

Функция правдоподобия имеет вид:

$$L(\lambda;x)=\prod_{i=1}^{n}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{x_{i}}}{x_{i}!}$$

Максимизируем логарифм функции правдоподобия:

$$\max\limits_{\lambda}\sum_{i=1}^{n}(-\lambda)+x_{i}\ln(\lambda)-\ln(x_{i}!)$$

Найдем условия первого порядка:

$$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_{i}}{\lambda}-1\right)=0$$

Решая данное равенство получаем точку экстремума: 

$$\lambda^*=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}=\overline{x}$$

Убедимся в том, что был найден максимум:

$$\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_{i}}{\lambda}-1\right)}{d\lambda}|_{\lambda^*}=-\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{(\lambda^*)^2}=\frac{-\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\right)^2}=-\frac{n^2}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}<0$$

В результате получаем оценку метода максимального правдоподобия:

$$\hat{\lambda}_{n}=\overline{X}_{n}$$

Найдем информацию Фишера:

$$I_{X}(\lambda)=-E\left(-\frac{n^2}{n\lambda}\right)=\frac{n}{\lambda}$$

Таким образом, оценка информации Фишера будет:

$$\hat{I}_{X}(\lambda)=\frac{n}{\hat{\lambda}_{n}}=\frac{n}{\overline{X}_{n}}$$

2. Обозначим через $z_{0.9}\approx1.28$ квантиль уровня $0.9$ стандартного нормального распределения. Тогда $80\%$ асимптотический доверительный интервал будет иметь вид:

$$\left(\hat{\lambda}_{n}-z_{0.9}\sqrt{\frac{1}{\hat{I}_{X}(\lambda)}},\hat{\lambda}_{n}+z_{0.9}\sqrt{\frac{1}{\hat{I}_{X}(\lambda)}}\right)=\\=\left(\overline{X}_{n}-1.28\sqrt{\frac{\overline{X}_{n}}{n}},\overline{X}_{n}+1.28\sqrt{\frac{\overline{X}_{n}}{n}}\right)$$

Поскольку $n=100$ и $\left(\overline{X}|X=x\right)=\frac{1000}{100}=10$, то реализация данного асимптотического доверительного интервала примет вид:

$$\left(10-1.28\sqrt{\frac{10}{100}},10+1.28\sqrt{\frac{10}{100}}\right)\approx\left(9.595,10.405\right)$$

3. Вероятность того, Василий посмотрит ровно одно видео, равняется:

$$P\left(X_{1}=1\right)=\lambda e^{-\lambda}=g(\lambda)$$

Найдем модуль производной данной функции:

$$|g'(\lambda)|=|1-\lambda|e^{-\lambda}$$

В итоге получаем асимптотический доверительный интервал для данной вероятности:

$$\left(g(\hat{\lambda}_{n})-1.28\sqrt{\frac{\overline{X}_{n}*g'(\hat{\lambda}_{n})^2}{n}},g(\hat{\lambda}_{n})+1.28\sqrt{\frac{\overline{X}_{n}*g'(\hat{\lambda}_{n})^2}{n}}\right)=\\=\left(\hat{\lambda}_{n} e^{-\hat{\lambda}_{n}}-1.28\sqrt{\frac{\overline{X}_{n}(1-\hat{\lambda}_{n})^2e^{-2\hat{\lambda}_{n}}}{n}},\hat{\lambda}_{n} e^{-\hat{\lambda}_{n}}+1.28\sqrt{\frac{\overline{X}_{n}(1-\hat{\lambda}_{n})^2e^{-2\hat{\lambda}_{n}}}{n}}\right)$$

Обратим внимание, что: 

$$\left((g(\hat{\lambda}))|X=x\right)=g(10)=10e^{-10}$$

$$\left((|g'(\hat{\lambda})|)|X=x\right)=|g'(10)|=|1-10|e^{-10}=9e^{-10}$$ 

Используя данные результаты получаем реализацию рассматриваемого асимптотического доверительного интервала:

$$\left(10e^{-10}-1.28*\sqrt{0.1*9^2e^{-2*10}},10e^{-10}+1.28*\sqrt{0.1*9^2e^{-2*10}}\right)\approx(0.00029,0.00062)$$

При этом, поскольку доверительный интервал является не точным, а не асимптотическим, то не удивительно, что его левая граница содержит отрицательное число, при том что доверительный интервал был построен для вероятности.

4. По аналогии с предыдущим пунктом получаем, что:

$$i_{X}(\lambda)=g(\lambda)=\frac{1}{\lambda}$$

Рассчитаем модуль производной:

$$|g'(\lambda)|=\frac{1}{\lambda^2}$$

Действуя по аналогии с предыдущим пунктом получаем следующую реализацию $80\%$-го асимптотического доверительного интервала:

$$\left(\frac{1}{10}-1.28*\sqrt{0.1*\left(\frac{1}{10^2}\right)^2},\frac{1}{10}+1.28*\sqrt{0.1*\left(\frac{1}{10^2}\right)^2}\right)\approx(0.096,0.104)$$

 

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оценивать задачи, добавлять их в избранные и совершать некоторые другие, дополнительные действия.