Опубликовал
sobodv
Автор или источник
sobopedia
Предмет
Математическая Статистика
Тема
Доверительные интервалы
Раздел
Введение в доверительные интервалы
Дата публикации
4/16/2020
Дата последней правки
4/18/2020
Последний вносивший правки
sobodv
Рейтинг

 

Условие

Рабочее время (в часах), которое требуется Жеглову на раскрытие очередного преступления, подчиняется экспоненциальному распределению с параметром $\lambda$ и не зависит от времени, потраченного на раскрытие других преступлений. За год Жеглов раскрыл $146$ преступлений, потратив на это $4380$ часов.

Через $X=\left(X_{1},\cdots,X_{146}\right)$ обозначим выборку, наблюдения в которой отражают время, затраченное Жегловым на раскрытие преступления. Через $x=\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)$ будем обозначать реализацию данной выборки.

Подсказка:  Во-первых, eсли $a>0$ и $V\sim EXP(\lambda)$, то $aV\sim EXP\left(\frac{\lambda}{a}\right)$. Во-вторых, если $V\sim EXP(0.5)$, то $V\sim\chi^{2}(2)$.

1. Найдите распределение случайной величины $2\lambda\sum\limits_{i=1}^{146} X_{i}$. 

2. Оцените симметричный $95$% доверительный интервал для параметра $\lambda$.

3. Оцените симметричный $95$% асимптотический доверительный интервал для параметра $\lambda$.

4. Сравните реализации обычного и асимптотического доверительных интервалов, посчитанные в предыдущих пунктах.

5. Найдите реализации границ обыкновенного и асимптотического $95\%$-ых доверительных интервалов для ожидаемого времени на раскрытие одного преступления, используя реализации соответствующих границ доверительных интервалов для $\lambda$.

 

1. Пусть $i,j\in\{1,\cdots,146\}$. Обратим внимание, что в силу первой подсказки $2\lambda X_{i}\sim EXP(0.5)$, а значит, согласно второй подсказке $2\lambda X_{i}\sim\chi^{2}(2)$. 

Следовательно, справедливо следующее представление $2\lambda X_{i}=Z_{Ai}^2+Z_{Bi}^2$, где $Z_{Ai}$ и $Z_{Bi}$ - независимые стандартные нормальные случайные величины. Причем, в силу независимости элементов выборки $Z_{Ai}$ и $Z_{Aj}$, а также $Z_{Bi}$ и $Z_{Bj}$ будут независимы для любых $i\ne j$. Отсюда следует, что:

$$2\lambda\sum\limits_{i=1}^{146}X_{i}=\sum\limits_{i=1}^{146}Z_{Ai}^2+Z_{Bi}^2\sim\chi^{2}(2*146)=\chi^{2}(292)$$

2. Через $\chi^{2}_{k,\alpha}$ обозначим квантиль уровня $\alpha$ случайной величины с распределением $\chi^{2}\left(k\right)$, где $k\in N$.

Используя результат предыдущего пункта получаем:

$$P\left(\chi^{2}_{292,0.025}\leq2\lambda\sum\limits_{i=1}^{146}X_{i}\leq\chi^{2}_{292,0.975}\right)=0.95$$

Перепишем данный результат в следующем виде:

$$P\left(\frac{\chi^{2}_{292,0.025}}{2\sum\limits_{i=1}^{n} X_{i}}\leq\lambda\leq\frac{\chi^{2}_{292,0.975}}{2\sum\limits_{i=1}^{n} X_{i}}\right)=0.95$$

В итоге получаем следующие границы $95\%$-го доверительного интервала для $\lambda$:

$$T_{1}(X)=\frac{\chi^{2}_{292,0.025}}{2\sum\limits_{i=1}^{n} X_{i}}$$

$$T_{2}(X)=\frac{\chi^{2}_{292,0.975}}{2\sum\limits_{i=1}^{n} X_{i}}$$

Учитывая, что $\chi^{2}_{292,0.025}=246.5571$ и $\chi^{2}_{292,0.975}=341.2296$, сам доверительный интервал будет иметь вид:

$$\left(\frac{123.2785}{\sum\limits_{i=1}^{n} X_{i}},\frac{170.6148}{\sum\limits_{i=1}^{n} X_{i}}\right)$$

Теперь найдем реализации границ данного доверительного интервала:

$$T_{1}(x)=\left(T_{1}(X)|X=x\right)=\frac{123.2785}{4380}\approx0.02814578$$

$$T_{2}(x)=\left(T_{1}(X)|X=x\right)=\frac{170.6148}{4380}\approx0.03895315$$

В итоге реализацией данного доверительного интервала будет:

$$\left(0.02814578,0.03895315\right)$$

3. Обратим внимание, что $E(X_{i})=\frac{1}{\lambda}$ и $Var(X_{i})=\frac{1}{\lambda^2}$ для любого $i\in\{1,\cdots,n\}$. Пользуясь данным обстоятельством и используя ЦПТ получаем, что:

$$\frac{\overline{X}-\frac{1}{\lambda}}{\sqrt{\frac{1}{n\lambda^2}}}=\sqrt{n}\left(\lambda\overline{X}-1\right)\xrightarrow[]{d}\mathcal{N}\left(0,1\right)$$

Обозначим через $Z_{\alpha}$ квантиль стандартного нормального распределения уровня $\alpha$. Обратим внимание, что:

$$P\left(Z_{0.025}\leq\sqrt{n}\left(\lambda\overline{X}-1\right)\leq Z_{0.975}\right)=0.95$$

Подставляя $Z_{0.025}=-1.959964$ и $Z_{0.975}=1.959964$ имеем:

$$P\left(\frac{\sqrt{n}-1.959964}{\sqrt{n}\overline{X}}\leq\lambda\leq\frac{\sqrt{n}+1.959964}{\sqrt{n}\overline{X}}\right)$$

В итоге, полагая $n=146$, получаем $95\%$-й доверительный интервал:

$$\left(\frac{\sqrt{146}-1.959964}{\sqrt{146}\overline{X}},\frac{\sqrt{146}+1.959964}{\sqrt{146}\overline{X}}\right)$$

Реализация данного доверительного интервала имеет вид:

$$\left(\frac{\sqrt{146}-1.959964}{\sqrt{146}*\frac{4380}{146}},\frac{\sqrt{146}+1.959964}{\sqrt{146}*\frac{4380}{146}}\right)=\left(0.027926408,0.038740259\right)$$

4. Нетрудно заметить, что различия в реализациях доверительных интервалов обоих типов оказались несущественными:

$$\text{Обычный: }\left(0.02814578,0.03895315\right)$$

$$\text{Асимптотический: }\left(0.027926408,0.038740259\right)$$

5. Поскольку $E(X_{i})=\frac{1}{\lambda}$ является непрерывной и строго убывающей функцией от $\lambda$, то соответствующие интервалы примут вид:

$$\text{Обычный: }\left(\frac{1}{0.03895315},\frac{1}{0.02814578}\right)=\left(25.67186,35.52930\right)$$

$$\text{Асимптотический: }\left(\frac{1}{0.038740259},\frac{1}{0.027926408}\right)=\left(25.81294,35.80840\right)$$

 

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оценивать задачи, добавлять их в избранные и совершать некоторые другие, дополнительные действия.